STATICALLY
INDETERMINATE PROBLEMS
example 3. A cold-rolled steel
bolt of lenght l = in. passes through a hard-drawn copper tube of
the same length, as shown in Fig. 1 .1 6a, and the nut at the left end is turned up just snug at room temperature T -
70° F. Subsequently the nut is tightened
up n = ¼ turn and the entire assembly
is raised to a temperature T = 140°
F. What stresses will exist in the bolt
and the tube under these conditions? The cross-sectional area of the Steel bolt
is A, = ½ sq in., its modulus of
elasticity E, = 30(10)6 psi, the coefficient of thermal
expansion is α, -= 6.5(10) -6 in./in./F° and the thread pitch p = ⅛ in. For the copper tube, A, -= 3/6
sq in., E, = 16(10)6 psi, and a, - 9.3(10)-6 in./in./F°.
SOLUTION . Consider that
portion of the assembly to the right of a section mn as a free body (Fig. 1.16b). Then from
static equilibrium it is seen that the compressive force S, in the copper tube must
balance the tensile force S. in the steel bolt, i.e,
Furthermore, since
the final length of the bolt and the tube must be the same, it follows that the shortening of the tube plus the extension of the bolt must
be equal to the thread displacement of the nut
along the bolt. Expressed algebraically,
σ a+ σc
= pn (i)
wherein the total extension of the
steel bolt is
σ a = Sal + ael∆ T
AaEa
and the total shortening of the copper tube is
σe = Sel - ae l∆ T
AeEe
∆ T being the net increase in temperature. Substituting these
expressions for σ ,
and σe into eq. (i) and noting from eq. (h)
that Sa - Se, - S1 we obtain
S ( 1
+ 1 )+
(a1-ae) ∆ T = pn .
AeEe AeEe l
For the given numerical data this gives
Sa = Se = S= 18,670 lb
The corresponding stresses are σ a = 37,340 psi, tension and σe = 24,900 psi, compression.
We may now
ask: to what temperature % must we cool the assembly id order to
relieve all stress? To answer this,
we note that the unit strains due to cooling and stress relief will be Ixith negative and equal. These strains, representing shortening per unit length, will be
€ a = σ a
. ∆ T + σ a,
E a
€ e = σe.
∆ T + σ e,
Ee
Frg. 1.16
Equating these unit strains, we obtain
( σ a
- σe ) ∆ T
= σ a + σe
E a Ee
when ∆ T is the required drop in temperature. Substituting -i,
=37,340 psi and
σe = 24, 900 psi together with the given numerical data into eq. (j) gives
∆ T – 1000 oF. Thus the assembly would have to be cooled down to 140 oF -
1000 oF — —860°F to relieve all stress. To do this, of course, would be highly impracticable.
σe = 24, 900 psi together with the given numerical data into eq. (j) gives
∆ T – 1000 oF. Thus the assembly would have to be cooled down to 140 oF -
1000 oF — —860°F to relieve all stress. To do this, of course, would be highly impracticable.
Statis tak
tentu MASALAH
Contoh 3. Sebuah baja gulung dingin sambaran panjang l = masuk melewati tabung tembaga keras yang ditarik dari panjang yang sama, seperti ditunjukkan pada Gambar. 1 .1 6a, dan kacang di ujung kiri muncul hanya nyaman pada suhu kamar T - 70 ° F. Selanjutnya kacang tersebut diperketat n = ¼ gilirannya dan seluruh djemaah dinaikkan ke suhu T = 140 ° F Apa tekanan akan ada di baut dan tabung pada kondisi ini?. Luas penampang baut Steel adalah A, = ½ persegi masuk, modulus elastisitas yang E, = 30 (10) 6 psi, koefisien ekspansi termal adalah α, - = 6,5 (10) -6 masuk / masuk / F ° dan pitch benang p = ⅛ masuk Untuk tabung tembaga, A, - = 3/6 persegi masuk, E, = 16 (10) 6 psi, dan, - 9.3 (10) - 6 di / dalam. / F. °.
SOLUSI. Pertimbangkan bahwa sebagian dari umat itu ke kanan dari bagian mn sebagai badan bebas (Gambar 1.16b). Kemudian dari keseimbangan statis terlihat bahwa kekuatan tekan S, dalam tabung tembaga harus menyeimbangkan kekuatan tarik S. di baut baja, yaitu,
Selain itu, karena panjang akhir baut dan tabung harus sama, berarti pemendekan tabung ditambah perpanjangan baut harus sama dengan perpindahan benang mur sepanjang baut. Disajikan secara aljabar,
σ = a + σc pn (i)
dimana perpanjangan total baut baja
σ a = Sal + aelΔ T
AaEa
dan pemendekan total tabung tembaga adalah
σe = Sel - ae lΔ T
AeEe
Δ T menjadi kenaikan bersih suhu. Mengganti ekspresi ini untuk σ, dan σe ke eq. (I) dan mencatat dari eq. (H) yang Sa - Se, - S1 kita memperoleh
S (1 + 1) + (a1-ae) Δ T = pn.
AeEe AeEe l
Untuk data numerik diberikan ini memberikan
Sa = Se = S = £ 18.670
Tegangan yang sesuai adalah σ a = 37.340 psi, ketegangan dan σe = 24.900 psi, kompresi.
Sekarang kita mungkin bertanya: untuk apa% suhu harus kita mendinginkan urutan ID perakitan untuk
menghilangkan stres semua? Untuk menjawab ini, kami mencatat bahwa strain unit karena bantuan pendingin dan stres akan Ixith negatif dan setara. Strain, mewakili pemendekan per satuan panjang, akan
€ a = σ a. Δ σ T + sebuah,
E yang
€ e = σe. Δ σ T + e,
Ee
FRG. 1.16
Menyamakan strain unit, kita memperoleh
(Σ a - σe) Δ T = σ a + σe
E sebuah Ee
ketika Δ T adalah drop diperlukan suhu. Mengganti-i, = 37.340 psi dan
σe = 24, 900 psi bersama-sama dengan data numerik diberikan ke eq. (J) memberikan
Δ T - 1000 oF. Jadi perakitan harus didinginkan sampai 140 oF -
1000 oF - 860 ° F untuk menghilangkan stres semua. Untuk melakukan ini, tentu saja, akan sangat tidak praktis.
Contoh 3. Sebuah baja gulung dingin sambaran panjang l = masuk melewati tabung tembaga keras yang ditarik dari panjang yang sama, seperti ditunjukkan pada Gambar. 1 .1 6a, dan kacang di ujung kiri muncul hanya nyaman pada suhu kamar T - 70 ° F. Selanjutnya kacang tersebut diperketat n = ¼ gilirannya dan seluruh djemaah dinaikkan ke suhu T = 140 ° F Apa tekanan akan ada di baut dan tabung pada kondisi ini?. Luas penampang baut Steel adalah A, = ½ persegi masuk, modulus elastisitas yang E, = 30 (10) 6 psi, koefisien ekspansi termal adalah α, - = 6,5 (10) -6 masuk / masuk / F ° dan pitch benang p = ⅛ masuk Untuk tabung tembaga, A, - = 3/6 persegi masuk, E, = 16 (10) 6 psi, dan, - 9.3 (10) - 6 di / dalam. / F. °.
SOLUSI. Pertimbangkan bahwa sebagian dari umat itu ke kanan dari bagian mn sebagai badan bebas (Gambar 1.16b). Kemudian dari keseimbangan statis terlihat bahwa kekuatan tekan S, dalam tabung tembaga harus menyeimbangkan kekuatan tarik S. di baut baja, yaitu,
Selain itu, karena panjang akhir baut dan tabung harus sama, berarti pemendekan tabung ditambah perpanjangan baut harus sama dengan perpindahan benang mur sepanjang baut. Disajikan secara aljabar,
σ = a + σc pn (i)
dimana perpanjangan total baut baja
σ a = Sal + aelΔ T
AaEa
dan pemendekan total tabung tembaga adalah
σe = Sel - ae lΔ T
AeEe
Δ T menjadi kenaikan bersih suhu. Mengganti ekspresi ini untuk σ, dan σe ke eq. (I) dan mencatat dari eq. (H) yang Sa - Se, - S1 kita memperoleh
S (1 + 1) + (a1-ae) Δ T = pn.
AeEe AeEe l
Untuk data numerik diberikan ini memberikan
Sa = Se = S = £ 18.670
Tegangan yang sesuai adalah σ a = 37.340 psi, ketegangan dan σe = 24.900 psi, kompresi.
Sekarang kita mungkin bertanya: untuk apa% suhu harus kita mendinginkan urutan ID perakitan untuk
menghilangkan stres semua? Untuk menjawab ini, kami mencatat bahwa strain unit karena bantuan pendingin dan stres akan Ixith negatif dan setara. Strain, mewakili pemendekan per satuan panjang, akan
€ a = σ a. Δ σ T + sebuah,
E yang
€ e = σe. Δ σ T + e,
Ee
FRG. 1.16
Menyamakan strain unit, kita memperoleh
(Σ a - σe) Δ T = σ a + σe
E sebuah Ee
ketika Δ T adalah drop diperlukan suhu. Mengganti-i, = 37.340 psi dan
σe = 24, 900 psi bersama-sama dengan data numerik diberikan ke eq. (J) memberikan
Δ T - 1000 oF. Jadi perakitan harus didinginkan sampai 140 oF -
1000 oF - 860 ° F untuk menghilangkan stres semua. Untuk melakukan ini, tentu saja, akan sangat tidak praktis.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar